КОЛИЧЕСТВЕННАЯ КОНЦЕНТРАЦИЯ ГЕОДЕЗИЧЕСКИХ ПУАНКАРЕ В ЛЕМНИСКАТНЫХ ОБЛАСТЯХ С СУЖАЮЩЕЙСЯ ПЕРЕМЫЧКОЙ
Keywords:
лемнискатная область, метрика Пуанкаре, гиперболическая геодезическая, концентрация геодезических, сужающаяся перемычка, овал Кассини.Abstract
В работе исследуется концентрация геодезических Пуанкаре в семействе лемнискатных областей с сужающейся внутренней перемычкой. В качестве явной модели рассматриваются области
Установлено, что пересечение области с мнимой осью имеет вид
Следовательно, ширина перемычки равна и стремится к нулю при . Для семейства геодезических Пуанкаре , соединяющих левую и правую части области, вводится радиус концентрации и доказывается оценка
Полученный результат показывает, что геодезические количественно концентрируются в окрестности начала координат вследствие глобального вырождения геометрии области.
References
1. Ahlfors L. V. Complex Analysis. 3rd ed. New York: McGraw-Hill, 1979.
2. Ahlfors L. V. Conformal Invariants: Topics in Geometric Function Theory. New York: McGraw-Hill, 1973.
3. Beardon A. F. The Geometry of Discrete Groups. New York: Springer-Verlag, 1983.
4. Pommerenke Ch. Boundary Behaviour of Conformal Maps. Berlin: Springer-Verlag, 1992.
5. Ebenfelt P., Khavinson D., Shapiro H. S. Two-dimensional shapes and lemniscates // Contemporary Mathematics. 2011. Vol. 553. P. 45–59.
